Întâlnirea cu infinitul matematic al adolescenților poate oferi o deschidere către un orizont superior, cel al aspirației către valorile contemplației filosofice, ale „iubirii de înțelepciune“ în sensul moral-metafizic de inspirație platoniciană și stoică. Pentru deschiderea acestui orizont, inițial matematic, este în unele cazuri suficientă întâlnirea cu o carte. Este astfel un atribut al mentorilor (propria familie, profesori) de a deveni „pescari de oameni“, așa cum a fost de exemplu, filosoful-matematician Pitagora (580-500 î.Hr.) Cu acest atribut, de revărsare asupra discipolilor, are loc o înălțare și nu o risipire, o atracție către cultură.

Sesizarea sensului intuitiv al unor fapte matematice esențiale, cât și al unor concepte fundamentale, întrevederea -perspectivelor acestora de utilizare reprezintă țeluri pentru elevi, care sunt susținute de un învățământ performant. Știința dezvăluie legătura organică dintre perceptibil și inteligibil, iar matematica, formă supremă a științei, explicitează la maximum această legătură.

Vom accepta viziunea matematicianului de geniu Georg Cantor (1845-1918). Acesta distingea trei nivele de infinit: cel din mintea lui Dumnezeu (infinitul Absolut), cel din mintea omului (infinitul matematic) și cel din universul fizic (infinitul fizic). „Vreau să fac o distincție clară între Absolut și ceea ce numesc transfinit, adică infiniții reali de ultimele două spețe, care sunt în mod evident limitați, pot crește în continuare și sunt astfel legați de finit“, spunea G. Cantor.

Infinitul matematic

Vechii filosofi, începând cu Zenon din Eleea (sec. V î.Hr.), erau provocați de paradoxurile infinitului. Puterea de invenție a lui Zenon a fost apreciată chiar de filosofii antici, de exemplu de Platon. Amintim un argument adus de Zenon împotriva mișcării dat prin Ahile și broasca țestoasă: „Ahile nu va întrece niciodată broasca țestoasă. El trebuie să ajungă mai întâi în locul de unde broasca țestoasă a plecat. În acest timp, broasca țestoasă va căpăta un avans. Ahile va trebui s-o ajungă și broasca țestoasă va profita de acest timp pentru a face un nou mic drum. El se va apropia tot timpul de ea fără să o ajungă vreodată“.

Maeștri ai geometriei, vechii greci nu acceptau nimicul și in–finitul. De exemplu, Aristotel afirma: „Apoi, cei care admit procesul de devenire la infinit elimină știința. Căci știința nu este po-sibilă până nu ajungi la ultimele părți ce nu se mai pot divide“.

În general, o definiție se dă prin genul proxim și diferența specifică. Or, termenii primi (primitivi) nu se pot divide după genuri și diferențe. Dar dacă seria genurilor merge la nesfârșit, înseamnă că nu ne putem aștepta să ajungem la termenii primitivi.

Culturi au eșuat în neacceptarea lui zero, filosofii s-au destrămat sub influența lui, deoarece zero este diferit de celelalte numere, evocând imagini ale unui neant primordial. Fiind inițial renegat, el reprezintă o licărire de inefabil și de infinit. Din momentul nașterii sale până la dezvoltarea și înflorirea sa în Orient, la zbaterile sale de a fi acceptat de europeni, zero este o amenințare omniprezentă pentru fizica modernă. Cele mai mari întrebări ale științei și religiei se referă la nimicnicie și la eternitate, la vid și la nemărginire, la zero și infinit. Ele reprezintă două concepte egale și opuse, ca yin și yang. Cosmosul hindus, spre deosebire de cel apusean, era infinit. Dincolo de universul nostru existau nenumărate alte universuri. Într-o poveste hindusă se relatează: „Ascuns în inima tuturor ființelor se află Atman, Spiritul, mai mic decât cel mai mic atom, mai mare decât spațiile întinse“. Când un om se stinge, Atman este eliberat din trup și intră apoi într-o altă ființă, sufletul transmigrează, iar persoana respectivă se reîncarnează. „Nemurirea este cel mai curajos gest al umanității către necunoscut“.

Infinitul a frământat mințile cele mai luminate de-a lungul timpului. Vom da un exemplu strălucit al teologului și logicianului Albert Ricmerstop (1316-1390), născut în Saxonia de vest. Devine unul dintre cei mai importanți logicieni ai Evului Mediu, studiind la Praga și la Paris, devine primul rector al Universității din Paris, apoi, în anul 1365, primul rector al Universității din Viena și episcop de Halberstadt. Fiind atras de problemele și paradoxurile infinitului, le studiază și le publică în lucrarea sa Sophismata. Pentru a justifica o trăsătură neobișnuită a infinitului, de a putea fi pus în corespondență cu o parte a sa, baza pentru definirea mai târziu a infiniților reali, Albert creează următorul paradox admirabil.

În spațiul geometric infinit tridimensional, considerăm o bârnă (paralelipiped dreptunghic infinit) ce are secțiunea pătrată de mărime unitatea. Prin tăiere se formează o infinitate de cuburi de muchie egală cu 1, care vor fi utilizate la construcția următoare. Albert arată cum putem umple spațiul prin asamblarea acestor cuburi. Se înconjură primul cub (bloc) cu 3³-1=26 de cuburi, obținând astfel un cub de muchie 3. Acest nou cub îl înconjurăm cu 5³-3³=98 de cuburi, formând astfel un cub de muchie 5. Prin continuarea construcției și epuizarea cubulețelor de muchie 1 din bârna inițială, vom umple întregul spațiu tridimensional.

Acest exemplu distrugea concepția aristotelică a inexistenței mulțimilor infinite: „Partea nu poate fi egală cu întregul“.

de Constantin CHITEȘ – dr. Colegiul Național de Informatică „Tudor Vianu“, București

Articolul integral poate fi citit în revista Tribuna Învățământului nr. 18-19 / iunie-iulie 2021