Așa cum am precizat în numărul anterior al revistei, continuăm să prezentăm aspecte care intră în zona provocărilor cu care se confruntă educația matematică la nivelul preuniversitar. În acest sens, în cele ce urmează vom face trimitere la o serie de articole care au făcut obiectul unui număr special al publicațiilor MDPI, editură specializată pentru publicații cu caracter științific din diferite domenii. Acest număr special reunește, sub titlul Critical Issues in Mathematics Education (https://www.mdpi.com/journal/education/special_issues/mathematics_education), o serie de articole care abordează teme diverse, identifică provocări cu care se confruntă educația matematică, acestea fiind limitate la perioada dinaintea celei caracterizate de pandemia COVID-19 (anul publicării articolelor fiind 2017).
Sub titlul Implicarea elevilor din clasele elementare în procesul creativ de modelare matematică a lumii lor (https://www.mdpi.com/2227-7102/7/2/62), autorii au orientat studiul spre a identifica răspunsuri la următoarele întrebări: „Cum poate modelarea matematică a unei/unor situații să reprezinte contextul de exprimare a abilităților secolului XXI?“, respectiv „Ce practici pedagogice sunt eficiente în cadrul activităților de învățare care presupun modelare matematică pentru exprimarea de competențe-cheie?“.
În articolul citat este evidențiat, încă de la început, faptul că procesul de învățare implică elevii din ce în ce mai mult în calitatea lor de creatori de informație și mai puțin în calitate de consumatori de informație. Această perspectivă este în relație cu o abordare integrată a învățării matematicii care trebuie să susțină formarea unui set mai complex de competențe cheie/transversale, specifice secolului XXI. Ne referim astfel la competențe de comunicare, de creativitate, gândire critică și colaborare pentru a rezolva probleme reale, de amploare, complexe și non-standard.
Autorii semnalează faptul că educația matematică se confruntă cu nevoia de a găsi/formula răspunsuri actuale/actualizate la „ce înseamnă competența matematică“, „ce presupune raționamentul matematic“ și „ce schimbări trebuie făcute atât în curriculumul matematic, cât și în pedagogie, pentru a pregăti elevii pentru abilitățile secolului XXI“. Orice răspuns trebuie să aibă în vedere faptul că matematica reprezintă un domeniu care s-a bazat, se bazează și se va baza pe înțelegerea conceptuală a matematicii. Aceasta devine cu atât mai relevantă cu cât învățarea matematicii este legată de contextele curente și viitoare de viață personală, în comunitate și în profesie.
O abordare pragmatică a învățării matematicii, cel puțin din perspectiva utilizării acesteia în lumea reală, presupune orientarea elevului în a recunoaște contextele reale în care matematica este aplicabilă, modelarea situațiilor-problemă din punct de vedere matematic și, foarte important, interpretarea și evaluarea rezultatelor. Din perspectiva vârstei la care matematica poate fi privită și utilizată pentru a construi răspunsuri pentru situații-problemă reale, autorii afirmă că rezolvarea de probleme poate fi exersată de la vârste mici (clasele elementare). Ceea ce diferă odată cu vârsta este complexitatea problemelor, generată de context și/sau de aparatul matematic necesar rezolvării. Indiferent de tipul de situație-problemă, etapele de raționament implică „formularea de probleme, generarea de date, cuantificarea informațiilor, reprezentarea soluțiilor și comunicarea rezultatelor“.
Considerând o reală provocare abordarea modelării matematice a situațiilor-problemă din realitate la vârste mici, autorii atrag atenția asupra sensului acestei sintagme, subliniind importanța a „ce este și ce nu este modelare matematică“. În acest sens, articolul explică formulări care pot conduce către conceptul de modelare matematică, dar care au semnificații diferite de acesta, precum „modelare fizică (de exemplu, folosirea instrumentelor de manipulare), modelare mentală (de exemplu, elevul percepe numerele negative ca un echilibru față de numerele pozitive) sau modelare a gândirii (de exemplu, având la bază strategii sau proceduri)“.
Raportându-se la diferite referințe bibliografice în care modelarea matematică este înțeleasă drept „un proces care folosește matematica pentru a reprezenta, analiza, face predicții sau oferi în alt mod o perspectivă asupra fenomenelor din lumea reală“, precum și drept relația biunivocă între matematică și realitate, autorii asociază ca semnificație modelării matematice „procesul iterativ de rezolvare a problemelor care include prezentarea de probleme autentice, deschise, formularea de ipoteze, identificarea constrângerilor și variabilelor, construirea de soluții matematice, respectiv analiza și interpretarea acestor soluții“. Cum problemele deschise care presupun modelare matematică sunt din varii domenii, nu toate modelările sunt bazate pe exactități, implicând și procedee de aproximare/estimare, în acest sens autorii explică „iterativitatea“, în care o soluție obținută urmează a fi testată în contexte reale, rezultatele testării permițând corecții ale acesteia/optimizări. Abordarea iterativă a procesului conduce la validarea modelului, precum și la optimizarea procesului de modelare. De asemenea, debutul în modelarea matematică a unei situații-problemă presupune ca elevii să reflecteze asupra a ceea ce cunosc/ceea ce ar trebui să cunoască din punct de vedere al matematicii.
Fără a fi semnificativ diferită perspectiva, profesorul Chris Budd de la Universitatea din Bath, Marea Britanie, în articolul său What is Mathematical Modelling? (https://www.mathscareers.org.uk/what-is-mathematical-modelling/, 2021) se referă la modelarea matematică ca fiind „procesul de descriere a unei probleme din lumea reală în termeni matematici, de obicei sub formă de ecuații, și apoi utilizarea acestor ecuații atât pentru a ajuta la înțelegerea problemei inițiale, cât și pentru a descoperi noi caracteristici ale problemei. Modelarea se află în centrul unei mari înțelegeri a lumii și le permite inginerilor să proiecteze tehnologia viitorului. Cu ajutorul modelării, putem călători până la marginea universului, să privim în inima atomului și să înțelegem viitorul climatului nostru“.
Pentru a elabora răspunsuri valide la cele două întrebări formulate la începutul articolului, autorii s-au bazat pe analizarea unor activități de învățare proiectate și desfășurate de doi profesori, la clasele din încadrare, informațiile fiind colectate pe bază de chestionar.
Pentru a stabili modul în care, prin modelare matematică, sunt implicate gândirea critică și rezolvarea de probleme, ca abilități esențiale pentru secolul XXI, procesul de modelare matematică este abordat secvențial, pe următoarele cinci segmente, în raport cu care profesorul realizează o învățare dirijată:
- definirea sarcinii de lucru, implicând formularea problemei din perspectiva matematicii: profesorul recomandă și încurajează elevii să ia în considerare și să exprime gânduri și idei matematice, posibil a fi importante pentru procesul de modelare;
- identificarea variabilelor problemei: profesorul încurajează elevii să facă alegeri/opțiuni relevante pentru contextul dat și să construiască argumente pentru a-și baza aceste alegeri/opțiuni; de asemenea, profesorul orientează elevii pentru a identifica și aplica procedee matematice învățate pentru a rezolva problema și se arată deschiși sau încurajează colaborarea prin care elevii au nevoie și solicită sprijin/asistență în cazul unor lacune în învățarea matematicii (a nu se uita că, în acest caz, scopul prioritar al activităților nu este cel de formare/consolidare a competențelor specifice matematice, ci dincolo de acestea, care rămân în plan secund);
- construirea unei soluții: profesorul încurajează comunicarea verbală, oferă indicii/explicații/exemple/contraexemple, cerându-le elevilor să verbalizeze deciziile care ar ajuta la construirea modelului lor; aceste elemente de sprijin pot fi, de exemplu, propoziții lacunare, pe care elevii le pot ușor completa, scopul fiind de a atrage atenția elevilor către aspecte cheie ce permit fundamentarea unei soluții; similar, printr-un dialog într-o abordare frontală, pe o aceeași sarcină de lucru, elevii sunt tentați să interacționeze pentru a valida sau a face corecții la răspunsuri ale colegilor, oferind astfel feedback care permite revizuiri și, după caz, obișnuindu-se să argumenteze propriile poziții/opinii/idei;
- crearea unui model generalizat: pentru a ajunge la o generalizare a unui model, profesorul facilitează elevilor expunerea diferitelor modalități de colectare și organizare de date, dirijând activitatea, astfel încât elevii să perceapă valoarea unor instrumente de tip tabelar, inclusiv prin foi de lucru de calcul tabelar ale unor aplicații electronice;
- evaluarea și optimizarea modelului: etapa de evaluare este importantă din perspectiva reflecției critice individuale/de grup asupra modelului creat; punerea elevului în context de a justifica/argumenta modelul elaborat reprezintă un context de validare, respectiv de revizuire a acestuia; în condițiile în care se dorește identificarea „celui mai bun model“, elevii sunt puși în situația să reflecteze asupra criteriilor care stau la baza ierarhizării modelelor.
Din perspectiva implicării în procesul de modelare a competențelor de creativitate și inovare, autorii se raportează, de asemenea, la o serie de referințe care abordează acest tip de competențe; astfel, creativitatea și inovația în matematică se dezvoltă pe măsură ce elevii „ascultă și evaluează raționamentul altora și oferă propuneri de îmbunătățire și corecție, pe care le pot argumenta“, incluzând reflecție asupra feedback-ului, învățarea din greșeli și valorizarea încercărilor repetate de a rezolva probleme.
În același context, extrem de importante pentru secolul XXI, caracterizat de accesul la informație și tehnologie, sunt competențele de comunicare și colaborare. Profesorul încurajează elevii să participe activ la „criticarea“ modelelor create. Elevii trebuie să se raporteze la similitudini și la diferențe dintre acestea. Participarea activă presupune atât comunicare, cât și colaborare. În concluzie, implicându-se în dezvoltarea unui model matematic pentru o situație-problemă ce corespunde unui context de realitate, adaptat vârstei și cunoașterii matematice, elevii au fost puși în contextul de a reflecta asupra modului în care identifică, selectează, colectează și organizează informațiile necesare, precum și la modul în care utilizează date și informații pentru a construi o soluție viabilă pentru contextul dat. În cadrul activităților, profesorii au urmărit ca, prin facilitarea comunicării și colaborării între elevi, aceștia, prin raportare la modelul creat și la feedback-ul primit, să identifice ce se poate revizui și ce se conservă, definind astfel variabilele și invarianții caracteristici modelului. Creativitatea a reprezentat o componentă a sarcinilor de modelare matematică, dezvoltându-se printr-o reflecție individuală, discuții frontale și prin colaborare pe grupe.
Procesul de modelare matematică se poate utiliza de către profesor în crearea de experiențe de învățare la elevi, pentru a observa modul în care aceștia utilizează/exprimă abilitățile de învățare ale secolului XXI, favorizând, prin repetiția și variabilitatea contextelor propuse, inclusiv formarea unor predispoziții/drumuri/căi bătătorite în abordarea sarcinilor de modelare matematică, autorii evidențiind următoarele:
- încredere în abordarea complexității;
- persistență în lucrul cu probleme dificile;
- toleranță și capacitatea de a face față problemelor deschise;
- abilitatea de a comunica și de a lucra cu ceilalți pentru a atinge un scop sau o soluție comună.
Astfel, modelarea matematică este în relație directă cu rezolvarea de probleme „autentice“, deschise și poate fi coborâtă la elevi de vârstă mai mică, atât intenționat (programat), cât și spontan (valorificând contexte/situații cu care elevii se confruntă în viața școlară sau extrașcolară). Autorii concluzionează că modelarea matematică din primele clase poate arăta diferit de ceea ce poate arăta modelarea matematică la nivel liceal, important fiind ca sarcini de lucru de acest tip să fie abordate în progresie (a complexității contextelor, a cunoașterii matematice care stă la baza modelării, a aprofundării etapelor de parcurs, a dimensiunii de date și informații, mai ales a celor variabile). Abordarea iterativă a modelării matematice, cu debut la vârste mici, conduce la dezvoltarea unor obișnuințe mentale specifice și care oferă elevilor ocazii și oportunități de a face față/de a se confrunta și a manageria situații-problemă din ce în ce mai complexe cu care lumea noastră modernă se confruntă. În acest sens, autorii structurează elementele care caracterizează procesul de modelare matematică în trei categorii interconectate:
- identificarea și valorizarea unor contexte relevante pentru elevi prin care dezvoltă abilități de modelare matematică pentru înțelegerea realității și pentru a crea obișnuința de „a vedea lumea prin lentile cantitative“;
- formarea obișnuinței la elevi de a fi orientați atât pe construirea unei soluții la probleme deschise/non-standard, cât, mai ales, la a construi astfel de soluții în cadrul unui proces iterativ, care urmărește optimizarea soluției, prin comunicare și colaborare, inclusiv obișnuința de a descrie situații-problemă în termeni matematici pentru a lua decizii bazate pe date;
- dezvoltarea la elevi a rutinelor privind abordările iterative cu scopul revizuirii și optimizării unui model matematic asociat unui context extra-matematic.
Revenind la articolul profesorului Budd, care privește modelarea matematică în principal din perspectiva competențelor specifice matematicii, considerăm util să evidențiem caracteristicile/etapele unei abordări „tradiționale“ și adesea utilizată în procesul de predare-învățare (ani de studiu mai mari, gimnaziu/liceu), atunci când este implicată construirea unui model matematic:
- raportarea la situația-problemă din perspectivă matematică, identificând toate „ingredientele cheie“;
- realizarea notațiilor și scrierea relațiilor matematice relevante (de regulă, ecuații), într-o formă cât mai simplificată posibil, dar păstrând sensul conținut de context;
- rezolvarea ansamblului de relații (sistemelor de ecuații/inecuații);
- compararea rezultatelor cu datele obținute alternativ (experimental, situații particulare/testări);
- dacă rezultatele sunt în acord cu datele, atunci modelul este unul care corespunde;
- în situația în care rezultatele nu concordă cu datele obținute alternativ, este necesară revizuirea modelului, în contextul descris anterior cu intervenție asupra sistemului de relații (simplificarea acestora nu mai corespunde), posibil sistemul asociat modelului necesitând un grad mai mare de complexitate a relațiilor; în acest caz, se reia rezolvarea și validarea rezultatelor de câte ori este necesar.
Provocarea în modelarea matematică este „…nu pentru a produce cel mai cuprinzător model descriptiv, ci pentru a produce cel mai simplu model posibil care să încorporeze trăsăturile majore ale fenomenului de interes“ (Howard Emmons).
Discuțiile privind modelarea matematică au pornit de la premisa că aceasta reprezintă o provocare în educația matematică, transformată în oportunitate atunci când modelarea este implicată în experiențe de învățare la diferite vârste și în varii contexte, urmărindu-se și exprimarea/consolidarea unor abilități necesare secolului XXI, în acest sens facem trimiteri către surse web care tratează/dezvoltă această temă, astfel:
- https://www.turito.com/learn/math/mathematical-modeling: prezintă o clasificare a modelelor, oferind și exemple care să permită înțelegerea mai bună a categoriilor următoare: modele statice/dinamice, modele lineare/nelineare, modele explicite/implicite, modele deterministe/probabilistice, modele discrete/continue, respectiv modele deductive, indicative sau flotante;
- https://www.comap.com/blog/item/what-is-mathematical-modeling: cuprinde o serie de reflecții „out of the box“ asupra răspunsurilor la întrebarea „Ce este modelarea matematică?“, acestea fiind substantiv, verb, până la mentalitate;
- https://math4teaching.com/what-is-mathematical-modeling/: reia clasificările deja menționate, dar conține informații complementare, inclusiv o schemă ce pune în relație lumea reală și lumea matematică.
Folosim această ultimă referință web și pentru a prelua concluzia formulată în cadrul materialului ce face parte dintr-o serie de pledoarii pentru matematică, autorii fiind profesorii Departamentului de Matematici ai Universității Cornell, dar citând pe Howard Emmons, profesor la Universitatea Harvard:
Provocarea în modelarea matematică este „nu a produce cel mai cuprinzător model descriptiv, ci a produce cel mai simplu model posibil care să încorporeze trăsăturile majore ale fenomenului de interes“.
*Acronim pentru modelare matematică, sperând că „îndulcește“ o discuție despre matematică, disciplină pe care ne-am dori-o în categoria de dependențe pentru care să nu existe interdicții.
Gabriel Vrînceanu – profesor
Articol publicat în nr. 53-54 al revistei Tribuna Învățământului