Noțiunea RADICAL în contextul matematicii

Noțiunea RADICAL în contextul matematicii

Ipoteză de lucru:
În aceste zile, totul este altfel, de la măruntul cotidian până la deciziile majore de viață. Aș spune că trebuie să ai puterea de a te rupe radical de obișnuințele deja create și de a reconfigura tiparele. Situația actuală nu permite abordări mecanice, dar permite caracterizări, comparări, punere în relații și analogii, toate aceste trebuind să genereze reconfigurări și noi procedee prin care ceea ce este altfel să devină ceea ce trebuie să fie rezolvat.

Astfel, deși conținutul matematic existent nu este influențat direct de situația altfel pe care o traversăm, competența matematică poate și trebuie să fie formată altfel și deținerea competenței matematice trebuie să contribuie la provocările cu care ne confruntăm.

Incursiunea în domeniul radicalilor pe care o prezentăm în continuare nu țintește să fie un răspuns direct la provocările actuale, dar poate fi un exemplu de ce înseamnă altfel în condițiile actuale.
Vă rog să urmăriți următorul raționament (argumentare):

În orice problemă pe care trebuie să o rezolvăm trebuie să identificăm ipotezele și concluzia. De asemenea, este important să înțelegem că obținerea unei concluzii viabile se bazează pe ipoteze numite suficiente. Însă și în matematică, la fel ca în orice alt domeniu, este important să asigurăm și o economie a resurselor, o optimizare a acestora. Astfel, pe lângă asigurarea contextului inițial (al ipotezelor) suficient, este indicat să ne asigurăm și de necesitatea respectivelor ipoteze (numite ipoteze necesare). Optimizarea este asigurată numai când sunt satisfăcute ambele condiții (necesar și suficient).

Exemplu:

Stabiliți din punctul de vedere al suficienței și necesității următoarele raționamente:

1) Dacă într-un dreptunghi toate lungimile laturilor sunt egale două câte două, atunci dreptunghiul este pătrat.

2) Dacă într-un dreptunghi lungimile a două laturi alăturate sunt egale, atunci acesta reprezintă un pătrat.

3) Dacă într-un dreptunghi lungimile a două laturi sunt egale, atunci acesta reprezintă un pătrat.

Să definim în continuare noțiunea de radical. O încercare de definire a acestui termen este dată de Franklin Delano Roosevelt: „Un radical este un om cu ambele picioare bine înfipte în aer“. 

Noțiunea RADICAL în contextul matematicii

Avem astfel o idee practică asupra provenienței semnului radical!

Să privim la următoarele imagini:

 

Cu care dintre scrierile anterioare ați fost familiarizați în matematica gimnazială?

Evident, prima dată când ați utilizat scrieri în care intervin radicalii a fost în clasa a VII-a, deci simbolul √ vă este familiar.

Dacă utilizați un program de editare pe calculator, de exemplu Mathtype – program ce permite editarea de formule specifice domeniului matematicii – veți constata că sunt utilizate construcții mai ample decât cea utilizată în gimnaziu:

Astfel, SCRIERILE de tip radicali sunt formate din simbolul radicalului, sub semnul respectiv consemnându-se un număr (cu anumite condiții asupra apartenenței la anumite mulțimi, dar nu orice număr!) și mai apare ca noutate o valoare asociată semnului radical, în stânga scrierii, deasupra semnului (de asemenea, cu anumite condiții, deci nu orice număr).

Întrebare:

Ce se va afișa pe ecranul unui calculator la comanda √4?
Răspunsul este 2, această valoare fiind corect atribuită scrierii √4.

Dacă reformulăm întrebarea pentru √3, ecranul va consemna un răspuns
precum cel din imagine.

Cei care vor afirma că 1,73 sau că numărul 1,732050807568877 reprezintă √3 vor fi în situația paradoxală în care unei operații cu numere îi corespund două numere distincte. În fapt, valorile evidențiate anterior sunt aproximări ale numărului √3. Diferența dintre cele două valori este de fidelitate, adică de apropiere față de adevăr (de valoarea reală a lui √3).

Noțiunea RADICAL în contextul matematicii

Pare complicat!

Dificultatea apare pentru că nu am răspuns la întrebarea „Ce reprezintă √3?“, ceea ce ar implica un răspuns care să se raporteze la o definiție a radicalilor și nu la proprietăți ale acestora.

Așa că vă propun o altă abordare. O cerință uzuală în matematică este rezolvarea ecuațiilor.

Un exemplu de ecuație simplă este: 3x + 2 = 5.

În acest caz, necunoscuta este reprezentată de notația algebrică x, a rezolva ecuația însemnând a obține toate valorile numerice pe care le putem atribui necunoscutei x astfel încât să fie verificată relația de egalitate.

Reamintim că în capitolul de logică matematică un enunț de tipul p(x) : 3x + 2 = 5, x ∈ R reprezintă un predicat (un enunț care depinde de una sau mai multe variabile) și prin particularizarea variabilelor se obțin proproziții logic adevărate sau false.

Astfel, pentru x = 0 se obține o propoziție logic falsă, iar pentru x = 1 se obține o propoziție logic adevărată.

Mai mult, unui predicat i se asociază mulțimea de adevăr, adică mulțimea tuturor valorilor particulare pentru care se obțin propoziții adevărate prin particularizarea variabilelor.

În fapt, rezolvarea unei ecuații parcurge două etape (nu într-o ordine neapărat fixată):
 existența (soluției/soluțiilor);
 unicitatea (sau determinarea tuturor soluțiilor).

„Găsirea“ unei soluții a unei ecuații nu înseamnă rezolvarea acesteia. Este diferența dintre empiric și științific, noțiuni care nu sunt superpozabile, dar nici nu se exclud una pe cealaltă.

Astfel, putem intui că x = 1 este soluția ecuației, însă dacă nu demonstrăm că aceasta este unica soluție, problema are o rezolvare parțială. Acest tip de eroare de raționament (în sensul abordării incomplete) se întâmplă când soluția e obținută prin verificarea unei relații prin particularizarea variabilei.

Noțiunea RADICAL în contextul matematicii

De aceea, o modalitate de a rezolva ecuațiile este aceea de a determina constructivist soluția, ceea ce înseamnă aplicarea de transformări prin echivalență a relației de egalitate, de tipul:
 adunarea/scăderea unei aceleiași valori în ambii membri ai ecuației (egalități) conservă soluția:
A = B ⇔ A ± x = B ± x

 înmulțirea/împărțirea cu o aceeași valoare nenulă a ambilor membri ai ecuației (egalității) conservă soluția:
A = B ⇔ A · x = B · x; A = B ⇔ A : x = B : x

 ridicarea la aceeași putere de exponent număr natural par nenul a ambilor membri ai ecuației (egalității) – în condiția ca ambii membri să aibă același semn! – conservă soluția:
A = B, A ≥ 0, B ≥ 0, ⇔ A2 = B2, A ≥ 0, B ≥ 0 sau analog pentru ambii membri negativi.

Astfel, construcția soluției pentru ecuația 3x + 2 = 5, parcurge etapele:

3x + 2 = 5 | – 2 ⇔ 3x = 3
3x = 3 | : 3 ≠ 0 ⇔ x = 1.

Astfel, în mod necesar și suficient x = 1 este unica soluție a ecuației.

Putem finaliza rezolvarea prin a scrie mulțimea soluțiilor ecuației (aceasta fiind mulțimea de adevăr a predicatului p(x) : 3x + 2 = 5, S = {1}.

Observație: pentru ca o valoare obținută să fie admisă drept soluție a unei ecuații, trebuie să raportăm valoarea obținută la întreg ansamblul de ipoteze asociate problemei. Astfel, rezolvarea unei ecuații are soluții diferite funcție de domeniul (mulțimea) de admisibilitate, adică o mulțime în care se situează valorile pe care le putem atribui variabilei/ variabilelor. Acest domeniu poate fi precizat explicit în enunțul exercițiului, sau în lipsa precizărilor, convenția este de a considera că variabilele pot lua valori în cea mai mare mulțime studiată, pentru care au sens obiectele matematice respective.

Articol de Gabriel VRÎNCEANU, profesor

Articolul integral poate fi citit în numarul 6-7, serie nouă, al revistei Tribuna învățământului.