Ce este matematica?

Un răspuns la o astfel de întrebare:

• poate fi căutat în registrul rațional-științific, cu accent pe obiectivism, pe „Ce este…“, în sensul de a defini matematica;
• poate vira spre domeniul filozofiei și/sau poate fi o exprimare a unor considerații cu accent pe „Ce reprezintă…“ în situația unor personalități care au avut preocupări/rezultate în domeniu și nu numai, deci o exprimare a subiectivismului, de regulă implicând diferite figuri de stil.

Din punctul de vedere al dicționarelor, avem următoarele definiții:

Definițiile care surprind sensul de bază al termenului matematică au o serie de elemente comune (matematica încadrată ca știință orientată pe raționament și logică), se completează reciproc, iar reuniunea lor conduce la o imagine consistentă a ceea ce reprezintă studiul acestui domeniu. O încercare de a reprezenta rezultatul reuniunii definițiilor date anterior, fără pretenție de exhaustivitate, este în graficul alăturat.

Conceptele cuprinse în reprezentarea anterioară sunt pe înțelesul celui care nu este străin de studiul acestui domeniu, dar rămân oarecum aride și abstracte, atingând rațiunea și mai puțin simțirea. De altfel, întregul univers matematic capătă sens mai întâi în mintea și, apoi, în sufletul celor care au capacitatea să evadeze din realitate spre virtual sau care pot diseca realitatea, o pot descompune ca, mai apoi, s-o recreeze.

Părând doar că ne vom depărta de sensul de bază al cuvântului „matematică“, vom porni într-o incursiune printre figurile de stil folosite pentru a surprinde matematica dincolo de definiția pur științifică. Propunem acest exercițiu atât pentru frumusețea ideilor cuprinse în citatele următoare, cât și pentru a încerca să interpretăm ideile respective în relație cu definiția matematicii.

Și totuși, ce este matematica?

„Matematica este regina științelor…“ (Karl Friedrich Gauss)

Gauss (1777-1855), ca matematician (deși preocupările sale nu au fost doar în sfera matematicilor pure, ci și aplicate – astronomie, fizică), poate fi bănuit de aroganță sau măcar de lipsă de modestie atunci când atribuie matematicii poziția de top. Fiind el însuși considerat unul dintre cei mai mari contributori la dezvoltarea matematicii, lui Gauss i se poate scuza orice aroganță, însă nu cred că, prin propoziția citată, a dorit să situeze matematica deasupra celorlalte științe, lăsând astfel o impresie de superioritate a acesteia față de orice altceva.

Fiind de origine germană, nu cred că privea matematica precum un monarh absolut, orice altceva/altcineva fiind su­­pus/obedient acesteia, ci ca pe un lider care unește, cucerește și amprentează pozitiv orice atinge.

Într-o astfel de interpretare, a regalității ca nivel superior de reprezentativitate a unei lumi – în acest caz abstracte –, este bine să avem în vedere că „matematica joacă un rol important în aproape orice efort științific, indiferent ce parte a realității este vizată. Nu există nicio știință naturală sau socială care să nu aibă condiții prealabile matematice substanțiale. Povara oricărei filozofii complete a matematicii este să arate cum se aplică matematica lumii materiale și să arate cum se încadrează metodologia matematicii (oricare ar fi ea) în metodologia științelor (oricare ar fi ea)“.

(Shapiro, Stewart, Philosophy of Mathematics and Its Logic: Introduction, in Stewart Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford Handbooks (2007; online edn, Oxford Academic, 2 Sept. 2009), https://doi.org/10.1093/oxfordhb/9780195325928.003.0001, accessed 16 Sept. 2022).

„Matematica este ceea ce începe, ca și Nilul, în modestie și se termină în magnific“ (Calvin Colton)

Dacă primul citat relevă perspectiva matematicianului, a unuia de frunte, cel de față este al unui cleric, absolvent de Yale. Calvin Colton (1789-1857), contemporan cu Gauss și romanticismului, a avut și multiple preocupări editorialis­tice, în acest sens publicând o serie de cărți de călătorie, ca urmare a propriilor experiențe din vizitele sale în spațiul ­adiacent Mării Mediteraneene (http://famousamericans.net/calvincolton/).

Probabil că într-un astfel de context, poate și sub imperiul măreției vestigiilor Egiptului antic, rod al tehnicii și creativității, Colton reușește să surprindă în fraza menționată, extrem de plastic și profund, lungul drum al cunoașterii matematice, care are la bază un minim necesar de axiome, adevăruri acceptate fără demonstrație, similar unui izvor, la care rațiunea a adăugat, picătură cu picătură, noi adevăruri deduse.

Astfel, matematica își are originea în modestie, dar nu neapărat origini modeste. Această modestie poate fi percepută ca expresie a rațiunii și logicii, deci cunoscându-și limitele, dar nu și acceptându-le. Pentru aceasta, la fel ca Nilul, își continuă cursul de secole, săpând în tăria pietrei și cucerind noi teritorii pentru ca în final să atingă măreția. Comparația cu Nilul mai poate fi intenționată din perspectiva capriciilor acestui mare curs de apă care avea perioade de abundență, ducând la revărsări de ape peste terenurile arabile limitrofe și, în consecință, forțând comunitățile să identifice soluții pentru agricultură, cu implicații în dezvoltarea geometriei. Din perspectiva magnificului, acesta poate fi reprezentat pentru Nil de volumul de apă pe care-l varsă, prin delta sa, în Mediterana, la fel cum acumulările din cunoașterea matematică ajung să se verse în mai toate științele, cum, la fel de interpretabil, terminarea în magnific poate însemna că finalul cunoașterii matematice poate reprezenta accesul prin aceasta la un nivel superior, filozofic și/sau teologic, a unui adevăr suprem. De remarcat este faptul că Nilul, precum și orice alt curs de apă, permite oricui să vadă în matematică un drum al reușitei prin stăruință, prin acumulare, perspectivă în care intrăm în acord cu accepțiunea academicianul Solomon Marcus asupra matematicii, ca fiind o „cultură a efortului“.

De altfel, ilustrul matematician român, într-unul dintre multiplele sale interviuri prin care pledează pentru matematică, profitând să aducă în primul rând un elogiu mentorilor săi, exercitându-și astfel modestia, afirmă: „Părinții mei spirituali sunt Miron Nicolescu, prin care am descoperit analiza matematică sub aspectul ei de disciplină a proceselor cu o infinitate de etape, și Grigore Moisil, care mi-a revelat forța transdisciplinară a matematicii, faptul că matematica poate fi un mod de a vedea lumea“. Situându-se într-o relație patriarhală cu Dimitrie Pompeiu (privit drept bunic spiritual), Solomon Marcus afirmă despre marele profesor și opera sa matematică: „…acesta mi-a dezvăluit farmecul faptelor matematice ciudate și m-a făcut să înțeleg capacitatea matematicii de a se situa în conflict cu intuiția comună și cu logica de fiecare zi“.

Citarea lui Solomon Marcus poate continua finit ca număr de cuvinte, însă infinit ca perspective. Lejeritatea sa în a concentra mult în cuvinte puține se poate observa și în răspunsul dat întrebării pe care am formulat-o la rându-ne (Ce este, totuși, matematica?): „Ca și filozofia sau poezia, matematica nu prea se lasă prinsă într-o definiție. A fost considerată multă vreme știința numerelor și a spațiului, dar această definiție s-a dovedit tot mai insuficientă, pe măsură ce matematica s-a diversificat și au luat amploare aspectele calitative. În ultimele decenii, a câștigat teren ideea reprezentării matematicii ca o știință a formelor (pattern-urilor), în toată generalitatea lor, incluzând aici și evoluția, dinamica lor“.

(Elena Solunca Moise, un interviu cu Solomon Marcus, Matematica – un mod de a vedea lumea, https://atelier.liternet.ro/articol/16924/Elena-Solunca-Moise-Solomon-Marcus/Matematica-un-mod-de-a-vedea-lumea.html)

„Matematica este o limbă și o știință“ (Lucian Blaga)

Blaga (1895-1961) privește filozofic asupra matematicii, încadrând-o între științe (cu modestie: o știință, deci printre alte științe) și, prin extensiune, între limbi (o limbă, printre altele). Un sens pe care îl putem da ideii exprimate de poetul Blaga este că matematica este logos, care reunește cuvântul și rațiunea, fiind rostire în vederea rostuirii, a expunerii unor idei cu un scop (cu un rost). Ne apropiem astfel de intensitatea ideii lui Noica: „Rostesc ceva spune deopotrivă enunț un lucru și pun în ordine un altul. Cu verbul a rosti te ridici la o expresivitate filosofică“. Astfel, rostim matematica și asigurăm rostul acesteia în condițiile în care „rostirea omului este, dacă este potrivit gândită, solidară cu rostul lucrurilor“.

(C. Noica, Rostirea filosofică românească,
https://tribuna-magazine.com/limba-si-limbaj-in-rostirea-filosofica/)

Fără a ne îndepărta de semnificațiile anterioare, Blaga pare a face trimitere la universalitatea matematicii, posibilă ca unitate în comunicare rațională, ca mesaj și ca rost independente de timp, deci dincolo de efemeritatea clipei. Dezvoltând ideea lui Blaga, matematicianul Salomon Bochner afirmă că: „Matematica este o formă de poezie care transcende poezia prin aceea că proclamă adevărul; o formă de raționament care transcende raționamentul prin aceea că vrea să înfăptuiască adevărul pe care îl proclamă; o formă de acțiune, un comportament ritual, care nu găsește împlinire în faptă, ci trebuie să proclame și să elaboreze o formă poetică a adevărului“.

Am putea spune că, în esență, matematica este o adicție față de adevăr, acest drog excedând raționalitatea, atingând genialitatea și fiind proprie inovației, creativității.

În acest sens, completând pe cei doi gânditori, Blaga – filozof – și Bochner – rațional, Ion Barbu/Dan Barbilian, ca exponent al îmbinării prin excelență a celor două perspective, îi completează: „Cei ce privesc matematicile din afară văd esența lor în calcul“, neglijând cu bună știință sau, întristător, nefiind capabili să perceapă matematicile ca reprezentând, concomitent, „un aspect al culturii și o colecție de algoritmi“ (Carl Boyer). Interpretăm că Ion Barbu, prin a privi – nu a rosti, face referire la cei care doresc să rezume matematica la instrument, lăsând la o parte atributele de matematică – tezaur de cunoaștere – și, mai ales, de matematică – sistem logic.

Cel puțin în ordine cronologică, Blaga nu face decât să evidențieze, cu modestie, rostul matematicii, lăsându-l pe marele fizician Galileo Galilei să ne releve sublimul: „Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul“. În acest sens, dăm o interpretare nouă a regalității acestei științe, ca expresie supremă a unei voințe absolut creatoare, deasupra a tot și a toate. Acceptăm astfel ca adevăr că „matematica este singura metafizică bună“ (W.T. Kelvin), reprezentând „judecătorul suprem“ în raport cu care „nu există recurs față de deciziile sale“, după cum afirma matematicianul Tobias Dantzig.

Reunind parcă ideile anterioare, matematicianul Gheorghe Țițeica explică sublimul cu modestia implicată de rigoare: „Matematica este un mod de exprimare a legilor naturale, este cel mai simplu și cel mai potrivit chip de a înfățișa o lege generală sau curgerea unui fenomen, este cea mai perfectă limbă în care se poate povesti un fenomen natural“.

Parcă dorind să surprindă imperfecțiunea – aparentă? – a lumii fizice, față de perfecțiunea – aparentă? – a sistemelor axiomatice, logice, Albert Einstein formulează, cu subtilă ironie, următorul paradox prin care delimitează creația umană, numită matematică, de creația lumii, de natură superioară: „Când legile matematicii se referă la realitate, atunci ele nu sunt sigure. Dacă sunt sigure, nu se referă la realitate“, în consonanță cu matematicianul și logicianul Bertrand Russell care afirmă că „matematica poate fi definită ca materia în care nu știm niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat“. Exact aceste paradoxuri permit să creeze valențe noi cercetării matematice, în care pot coexista sisteme axiomatice diferite, dar cu muguri comuni (a se vedea geometriile ce au completat pe cea euclidiană), deschizând orizonturi pentru acceptarea mai multor realități, toate bazate pe adevăr, nu neapărat pe certitudini (similar cu bipolaritatea dintre adevăr și dreptate). Evidențiind astfel limitele matematicii, devoalând că, oricât ne-am depărta de începuturile acesteia, trebuie să rămânem în modestie, cursul de apă părând doar că se apropie de vărsare, de sublim, dar la fel ca în conceptul de convergență, mintea umană parcurge mereu doar jumătăți de etapă (o nouă cunoaștere deschide ușa spre o altă nouă cunoaștere), lipsa de limite sau atingerea infinitului absolut excede puterea umană, fiind nelimitată doar în aria conceptelor abstracte, așa cum afirmă fizicianul Paul Dirac: „Matematica este unealta în mod special adaptată pentru a avea de-a face cu concepte abstracte de orice fel și nu există o limită a puterii sale în acest domeniu“. Limitând matematica la un domeniu, în cadrul acestui domeniu acceptăm posibilitatea dezvoltării sale cu pași în număr infinit, arealul cunoașterii rămânând în finit, așa cum acceptăm, rațional-logic, că între capetele distincte ale unui segment există o infinitate de alte puncte, ele generând o măsură exprimată finit (lungimea segmentului). Acceptând că mai important este drumul decât destinația, nu trebuie să privind cu defetism infinitatea pașilor și limitarea cunoașterii, pentru că a ne opri din cunoaștere nu este o alternativă viabilă, așa cum semnalează Grigore Moisil: „Azi facem matematica ce va fi folosită mâine și mai ales poimâine. Că dacă n-am face-o azi, poimâine ar trebui s-o importăm“.

Revenind la paradoxul enunțat de Einstein, chiar invocând limitele matematicii, afirmația marelui matematician Grigore Moisil reprezintă un referențial asupra rostirii și a rostului: „Tot ce e gândire corectă este sau matematică sau susceptibilă de matematizare“. Și, aducând aminte de limite, matematicianul Benjamin Peirce evidențiază că „matematica este știința care trage concluzii necesare“, lăsând deschisă ușa spre suficiență sau autosuficiență. Se face, astfel, dovada că marii intelectuali au îmbrăcat cu măiestrie matematica în haine strălucitoare, care să-i asigure atractivitatea, însă fără a se lăsați orbiți de această strălucire, pentru a nu intra în contradicție cu rigoarea și cu logica.

Gabriel Vrînceanu – profesor

Articol publicat în numărul 35 al revistei Tribuna Învățământului