Motto:

„Cuvântul rostit și exemplul personal sunt mult mai convingătoare decât cuvântul scris“.

Atribute ale omenescului, puterea de pătrundere, de imaginație, de a descoperi și de a inventa, sunt suporturi ale înălțării spirituale. Pentru a înțelege realizări importante din tezaurul științific și artistic acumulat de omenire este necesară învățarea într-o dinamică permanentă și o interacțiune continuă.

Matematica, prin excelență, cultivă modalitatea de a căuta înțelesuri, de a ști să le utilizezi, să deprinzi să trăiești în conformitate cu registrul valorilor spre care tinde buna utilizare a rațiunii.

Prin generarea de întrebări continue, prin curajoase problematici, revenim pe linia comportamentului socratic. Anticipând inspirat soarta viitoare a filosofiei, Epictet, în Manualul său, conduce dinspre principii spre metodă, dinspre adevăr spre mecanismele exprimării lui.

Pentru definirea priorităților în viață și a confortului intelectual, putem invita la o lectură atentă a Manualului lui Epictet. Prezentăm câteva dintre învățăturile sale:

„1. Dintre cele ce sunt, unele depind de noi, altele nu depind de noi. De noi depind gândul, avântul, pornirea, respingerea și, într-un cuvânt, câte sunt lucrurile noastre; nu depind de noi trupul, proprietatea, faima, funcțiile și, într-un cuvânt, câte nu sunt lucrurile noastre. Cele ce depind de noi sunt din fire libere, fără constrângeri, fără piedici, iar cele ce nu depind de noi sunt fără vlagă, robite, supuse constrângerilor, în voia altora. Amintește-ți așadar: Dacă te gândești că acelea înrobite prin firea lor sunt libere și că cele ce aparțin altuia îți sunt proprii, vei fi supus constrângerilor, vei jeli, vei fi tulburat, îi vei ocărî pe zei și pe oameni.

2. Nu te strădui, așadar, să le ocolești pe toate cele ce nu țin de noi și ocupă-te numai de cele ce țin de noi și sunt împotriva firii. Renunță cu totul acum la pofta de a dobândi ceva din cele ce nu țin de noi, în condițiile în care cele pe care este cuviincios să le dobândești nu se află câtuși de puțin în puterea ta. Puneți în mișcare numai pornirea de a acționa și de a nu acționa, dar folosește-te de ele blând, fără încrâncenare și lipsit de constrângeri.

9. Boala este o piedică pentru trup, dar nu pentru voință, dacă nu voiești tu să fie. Șchiopătatul este o piedică pentru picior, dar nu pentru voință. Spune-ți asta de fiecare dată când ți se întâmplă ceva: vei afla că orice este o piedică pentru un lucru, nu este pentru tine.

10. Orice se întâmplă, amintește-ți să te întorci către tine, să afli dacă ai putere să îi faci față.

12. Este mai bine să mori de foame, dar să nu suferi și să nu te temi, decât să trăiești în îndestulare, dar tulburat.

24. Dacă pot să dobândesc ceva păstrându-mi cuviința și cinstea, și generozitatea, arată-mi calea și voi dobândi.“

Acest text vechi are menirea de a cristaliza frământările inerente ale adolescenților și poate fi utilizat ca bază de discuție în orele de dirigenție. Educarea voinței este un aspect important în formarea educației unei persoane. Noi, mentorii, suntem cei care le putem oferi repere din istorie.

„Pentru a găsi repere, nu trebuie să căutăm în prezent, ci în trecut, și mai degrabă într-un trecut mai îndepărtat“, scria regretatul academician Solomon Marcus.

Primii matematicieni și filosofi greci nu considerau, ca mulți dintre noi azi, că ar exista două culturi. Ei considerau o cultură unică, una întemeiată pe rațiune, prin care puteau descifra ordinea cosmică. Adevărul și cunoașterea nu se dobândesc deodată, printr-o iluminare instantanee. Cucerirea lor necesită, dimpotrivă, un lung șir de eforturi și de observații, un studiu aprofundat. Pitagora (580–500 î.Hr.) își repartiza învățământul în mai multe trepte de studii progresive, mergând de la simplu la complex, de la întuneric la lumină și punea astfel bazele unei adevărate Universități. Adresându-se tinerilor, Pitagora le-a spus: „Fericirea nu stă nicidecum în acumularea de bogății materiale; ele corup inima în loc să o slujească. Dimpotrivă, fericit este cel care încearcă să dobândească darurile spiritului și care lasă să îi strălucească bunătatea în faptele sale“. Armonia, considera Pitagora, trebuie să fie la baza oricărei societăți umane. El se arăta deosebit de pretențios în privința admiterii necunoscuților în Ordinul său, prin examinarea vocației aspiranților săi. Treptele Ordinului erau: gradul preparator (exotericii) și 4 grade de inițiere (ezotericii). Gradul preparator este deschis auditorilor liberi, care urmau lecțiile de morală ale Maestrului prin care se dezvoltau: a) respectul față de Lege; b) iubirea de patrie; c) altruismul; d) bunele moravuri; e) prietenia; f) iertarea jignirilor etc.

Gradele de inițiere erau: I Acusmaticii; II Mathematicii; III Sebasticii; IV Politicii.

Gradul I (Acusmaticii), fiind supuși probei tăcerii, studiau psihologie, exerciții liturgice, meditația, secretele Simbolismului.

Gradul II (Mathematikoi) primeau o formare științifică completă: de fizică, astronomie, geometrie, știința Numerelor.

Gradul III (Sebastikoi) învățau bogății spirituale, diferite Mistere ale Ordinului, care le dădeau răspuns la întrebările celor însetați de lumină și certitudine. La final, ei deveneau teologi dublați de savanți liturgiști.

Gradul IV (Politicoi) învățau secretele armoniei sociale și bazele unei legislații ideale, cât și practica interpretării legilor.

Vă invităm la o (re)lecturare a Imnurilor sacre ale lui Pitagora. Cităm, spre exemplificare: Versul 1 – „Întrucât credința are puterea de a ne înălța spre cauza divină, ea trebuie să stea în fruntea tuturor virtuților, și acesta este motivul pentru care preceptul privitor la credință se află în fruntea regulilor înfățișate de aceste versuri“.

Ce lecție de morală înaltă reprezintă aceste versuri! Probabil, toți factorii educaționali ar trebui să se raporteze la acestea.

Ca discipol al lui Socrate, Aristocles (427–347 î.Hr.), supranumit „Platon“ („largul“, „enciclopedicul“) a fondat în Atena, în anul 387 î.Hr., o renumită școală filosofică, numită Academia. Cunoscând matematica timpului său, având prestigiul cultural recunoscut, a exercitat asupra contemporanilor, cât și a succesorilor săi dorința de promovare a matematicii. El considera studiul geometriei ca un preliminar indispensabil pentru abordarea filosofiei. Pe frontispiciul școlii lui Platon era înscris motto-ul: „Aici pot să intre numai cei ce știu geometrie“. Influențat de cunoștințele pitagoreicilor, prin întâlnirea în primul voiaj în Marea Grecie (388–387 î.Hr.) cu Architas din Tarent (elev al lui Philolaos), Platon transmite flacăra esoterică a acestora.

Chiar dacă în plan există o infinitate de poligoane regulate, și vechii greci construiau de exemplu, cu rigla și compasul, pe cele de forma n = 2k ⋅3 , k ≥1, există în spațiu doar 5 poliedre regulate (tetraedrul, hexaedrul, octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul). În Academia lui Platon, matematicianul Theetet dă descrierea completă a celor 5 poliedre regulate. Ele au rămas în istorie ca „solidele lui Platon“, deoarece acesta le asociază cu elementele din Cosmos (focul = tetraedru, pământul = hexaedru [cub], aer = octaedru, apa = icosaedru și chintesența = dodecaedru).

Ca o remarcă interesantă, o colecție de biluțe din piatră care reproduc solidele lui Platon, a fost descoperită în Scoția și datează cu 1.000 de ani înaintea matematicianului grec.

Peste ani, în anul 1639, matematicianul și filosoful francez Descartes și-a îndreptat atenția către corpurile geometrice regulate și a observat ciudatul tipar numeric: V −M + F = 2, unde V = numărul de vârfuri, M = numărul de muchii și F = numărul de fețe ale poliedrelor. Acest rezultat, Descartes l-a considerat ca o curiozitate pe care nu a publicat-o. În anul 1750, L. Euler, cel mai prolific matematician din istorie, a demonstrat-o și a publicat-o. Matematicienii au considerat această ecuație simplă ca fiind una din primele tentative de pași în afirmarea unei noi ramuri a matematicii, topologia. Continuitatea este aspectul fundamental al lumii naturale și o caracteristică fundamentală a matematicii.

Dacă notăm cu n = numărul de laturi a fiecărei fețe și cu r = numărul de muchii care se întâlnesc în fiecare vârf ale poliedrului regulat, atunci vedem că: n ⋅ F = 2⋅M , r ⋅V = 2⋅M, deoarece fiecare muchie aparține la două fețe și fiecare muchie este determinată de două vârfuri. Prin înlocuire în relația lui Euler, obținem:

.

Cum n ≥ 3, r ≥ 3, deducem că nu se obțin soluții pentru n ≥ 4 și r ≥ 4 simultan considerate.

Efectuând calculele, deducem:

a) n = 3, r = 3, M = 6, F = 4, V = 4 corespund tetraedrului regulat;

b) n = 3, r = 4, M =12, F = 8, V = 6 corespund octaedrului regulat;

c) n = 3, r = 5, M = 30, F = 20, V =12 corespund icosaedrului regulat;

d) n = 4, r = 3, M =12, F = 6, V = 8 corespund hexaedrului regulat (cub)

e) n = 5, r = 3, M = 30, F =12, V = 20 corespund dodecaedrului regulat.

Să descoperim cum s-a creat mingea de fotbal. Să ne imaginăm un icosaedru din plastilină căruia îi tăiem cu un cuțit toate cele 12 vârfuri astfel ca fiecare față a sa să devină hexagoane regulate. Se obțin 20 de hexagoane albe și 12 pentagoane negre (deoarece există 12 vârfuri și din fiecare vârf pleacă 5 muchii).

În nordul orașului Paris, construită în anii 1980, se află o stranie sală de cinema, numită Geoda, ce seamănă cu o bilă imensă ce are 36 m în diametru. Suprafața Geodei este alcătuită din mii de oglinzi triunghiulare, ansamblul părând un corp perfect regulat. Triunghiurile de la baza icosaedrului regulat sunt decupate în 400 de triunghiuri mai mici, ceea ce ne conduce la un total de 8.000 de fațete. Baza stă pe sol, deci fiind trunchiată, din cele 8.000 de triunghiuri, Geoda are 6.433 de triunghiuri. Totuși, celor 12 vârfuri ale icosaedrului îi corespund 12 neregularități ale Geodei.

Anumite organisme microscopice, de exemplu, cazul rhino-virusurilor care sunt responsabile de cea mai mare parte a răcelilor au forme de dodecaedru sau de icosaedru. Natura le-a creat astfel din rațiuni de simetrie și economie. Remarcăm un principiu din fizică al minimei acțiuni.

Metoda propusă de filosoful René Descartes era de a nu se abate de la ur-mătoarele patru principii:

„1. Prima era de a nu accepta vreun lucru ca adevărat, dacă nu l-am cunoscut în mod evident că este; adică de a evita cu grijă graba și prejudecata, și de a nu cuprinde în judecățile mele nimic mai mult decât ceea ce s-ar înfâțișa minții mele atât de clar și distinct, încât să nu am prilej de a mă îndoi.

2. A doua, de a împărți fiecare dintre dificultățile pe care le cercetez în atâtea părți în câte s-ar putea și de câte ar fi nevoie, pentru a le rezolva mai bine.

3. A treia, de a-mi conduce în ordine gândurile, începând cu obiectele simple și mai ușor de cunoscut, pentru a mă ridica, puțin câte puțin, ca pe niște trepte, până la cunoașterea celor mai complexe și, presupunând că există ordine chiar între cele care nu se succed în mod natural unele după altele.

4. Și ultima, de a face peste tot enumerări atât de complete și revizuiri atât de generale, încât să fiu sigur că nu am omis nimic.“

Prin extinderea unor capitole din programa școlară sau introducerea unor capitole noi, se are în vedere pregătirea candidaților pentru susținerea unui Bacalaureat european, Bacalaureat ce va putea fi introdus în următorii ani. Unele probleme mai dificile se pot adresa celor ce doresc să posede o bună pregătire matematică la intrarea în universități de profil din țară sau din străinătate, ceea ce reprezintă un start bun al acestora pentru performanță.

Puterea ecuațiilor stă în corespondența dificilă din punct de vedere filosofic dintre matematică, o creație colectivă a minții omului și realitatea fizică exterioară. Ecuațiile sunt modele ale tiparelor intime ale lumii exterioare. Învățând să prețuim ecuațiile și să citim poveștile pe care le spun, putem descoperi caracteristicile vitale ale lumii în care trăim, evitând astfel descrierile imprecise ale fenomenelor naturii prin limbaj.

Considerăm că putem aborda transdisciplinar, cât și interdisciplinar matematica din învățământul preuniversitar și universitar, căutând în fiecare capitol conexiuni deosebite.

Autorul a organizat la Colegiul Național de Informatică din București în ultimii ani un Simpozion de Matematică, intitulat „Perspective culturale generate de matematică“. Este un simpozion menit să deschidă orizonturi în cultura științifică și artistică, prin omagierea regretatului academician Solomon Marcus.

Unii dintre elevii paricipanți sunt premianți la olimpiadele naționale la discipline diferite: matematică, fizică, informatică, limbi străine, limba și literatura română, istorie.

Subiectele abordate de elevii amintiți sunt complementare programei școlare sau sunt introduceri din cursurile universitare.

Amintesc câteva titluri și elevi care le-au susținut:

a) Utilizarea numerelor complexe în circuitele alternative (Morărescu Mihnea, cl. a XII-a, admis la Cambridge, 2023, cu bursă full, olimpic național la matematică și fizică);

b) Ecuația lănțișorului (Ghinescu Ștefan, cl. a XII-a, admis la Universitatea Politehnică București, olimpic național la matematică);

c) Introducere în studiul conicelor (Nițu Alexia, cl. a XII-a, admisă la o universitate din Olanda);

d) Sisteme dinamice discrete (Aelenei Alex, cl. a XII-a, admis la Universitatea București, Facultatea de Matematică-Informatică);

e) Fractali, mulțimea lui Mandelbrot, triunghiul lui Sierpinski (Ion Alexandru Gabriel, Nițu Antonio, cl. a XI-a).

Concluzii

⇐ Este important să fim conștienți de rolul pe care îl joacă educația și învățarea în dezvoltarea individului uman și a comunității umane, în istorie și în progresul uman.

⇐ Educarea, creșterea și formarea omului și a generației tinere se realizează continuu, deci atât în cadrul orelor de curs, cât și prin invitația de a „studia liber“ în afara acestora. Țelul mentorului este de a sădi discipolilor săi bucuria lecturii din proprie inițiativă. Indicarea unor surse de valoare este binevenită.

⇐ Pentru a susține lectura este necesar ca mentorul să se informeze continuu. Să ne amintim că „savant“ = „elev învățat“, este tradus în două cuvinte în limba ebraică. Dacă dispare calitatea de „elev“, atunci dispare și calitatea de „savant“. Acesată splendidă explicație sintetizează multe tomuri scrise despre „învățarea continuă“ și necesitatea acesteia.

⇐ Pedagogia culturii, prin urmare, se preocupă de fenomenul învățării și educației, fenomen care face din ființa umană o ființă culturală, și, în același timp, și de procesul prin care formele și valorile culturale influențează învățarea, formarea și educația omului. Ținând seama de distincția dintre cele trei culturi – scolastică, academică și manifestă –, consider că prin „studiul liber“ se realizează o apropiere dintre primele două. Această apropiere generează noi avânturi de studiu, cât și premisele intrării cu o bună pregătire în universitățile de top, cât și modelarea propriei personalități. 

Costel Chiteș – profesor dr.

Articol publicat în nr. 41-42-43 al revistei Tribuna Învățământului