Foto: dreamstime

Într-un spațiu media invadat de știri și de non-știri, este îmbucurător când o problemă de matematică face valuri. Dar pentru ca matematica să devină vizibilă, este necesar să fie inclusă într-un context, de regulă unul fără legătură evidentă cu matematica, eventual cât mai depărtat sau cât mai inopinat.

Însă nu cine a propus sau cui și în ce scop s-a propus problema este ceea ce interesează articolul de față, ci problema în sine și învățămintele pe care le conține. Totuși, pentru conformitate, precizăm aici că problema a fost propusă de doamna profesoară Daniela Vasile, într-o emisiune televizată, pentru publicul larg, fiind predată mai departe, de către realizatorii emisiunii de televiziune, spre rezolvare în direct, domnului Nicușor Dan, Primarul General al Capitalei, fost olimpic internațional și matematician important al societății românești actuale.

Pentru a nu intra direct și strict în zona matematicii, așa cum poate v-ați obișnuit, vom încerca să vă trezim curiozitatea, în acest caz inversând o preocupare constată privind răspunsul la întrebarea „Ce este matematica?“, încercând în prima parte a articolului de față să conturăm răspunsuri la întrebarea „Ce nu este matematica?“.

În a doua parte a articolului, vom prezenta și comenta două strategii de rezolvare ale problemei, iar în a treia parte vom face o serie de considerații asupra implicării IA în învățare, în contextul matematicii.

Ce nu este matematica?

În primul rând, matematica nu se rezumă la o colecție de reguli și proceduri mecanice, aplicate unor obiecte pur imaginare, doar o creație a minții umane, la fel cum nu este nici doar o colecție de fapte sau situații izolate. Astfel, deși de multe ori elevii percep matematica doar ca pe un set de formule, algoritmi și pași de urmat, matematica nu este o activitate meca­nică, ci o știință creativă, plină de explorare și descoperire. Gândirea matematică presupune mai mult decât memorarea unei liste de formule sau acumularea de informații și implică identificarea unor relații și structuri, dezvoltarea abilității de a face conexiuni între concepte și de a înțelege structura din spatele acestora, precum și capacitatea de a găsi căi, uneori inedite, pentru rezolvarea problemelor.

În al doilea rând, matematica nu este un limbaj elitist și inaccesibil, în acest sens cu o adresabilitate către un grup restrâns de oameni care au o „înclinație“ specială. În context educațional, matematica trebuie să fie accesibilă și relevantă pentru toți elevii, indiferent de nivelul lor inițial. Chiar dacă pare multora doar ceva abstract, matematica are puterea de a modela fenomene cotidiene, fiind astfel necesar a fi înțeleasă și aplicată de oricine în varii contexte de viață. De asemenea, matematica nu este o știință statică și inflexibilă, nu reprezintă un domeniu rigid, unde există doar modul „corect“ în contrapoziție cu modul „greșit“, deși lucrează în logica binară doar cu „adevăr“ și „fals“(!). În realitate, matematica este un domeniu dinamic, în continuă evoluție, și adesea există multiple modalități de abordare a unei probleme, mai ales în contextul învățării în situații ce presupun legături intradisciplinare. În plus, în ma­tematică sunt apreciate gândirea critică, argumentarea și raționamentul logic, chiar și în fața incertitudinii sau a necunoscutului. Vorbind despre legăturile intradisciplinare, este momentul să spunem că matematica nu este o știință separată de alte domenii, primele rezultate notabile fiind răspunsuri la nevoi și situații-problemă ale altor domenii de cunoaștere. Astfel, chiar dacă organizarea curriculară actuală este axată, încă, pe grupaje ale cunoașterii prin discipline de studiu, învățarea matematicii nu este completă și nici eficientă dacă este reali­zată izolat de alte discipline, ci capătă sens în intersecție și complementaritate, fiind legată de științele naturii, economie, sociologie, tehnologie și, deloc surprinzător, de arte. Prin activitățile de învățare potrivite, elevii trebuie conduși să vadă conexiunile dintre matematică și alte domenii, să descopere relevanța și aplicabilitatea ei dincolo de abundența propriei problematici.

Notabil este că matematica nu este limitată doar la calcule și numere, deși se asociază cu aritmetica și operațiile numerice, cel puțin la debutul educației matematice. În realitate, matematica pe care elevul o învață include și alte domenii: algebra, geometria, organizarea de date și probabilități, logica matematică și analiza matematică, toate acestea lucrând cu formularea unei ipoteze, colectarea de date și luarea unor decizii. Matematica este, în opinia noastră, cel mai important instrument de structurare a gândirii în sprijinul deciziilor fundamentate.

Matematica nu este doar despre „a obține răspunsul corect“. Este întru totul neproductiv pentru învățare ca sistemul de evaluare să pună accent pe obținerea rezultatului final corect, pentru că matematica autentică și frumusețea acesteia rezidă în raționament (drumul), mai mult decât în final (răspunsul „corect“). Astfel, matematica este despre înțelegerea procesului, despre căutarea unor metode alternative și despre învățarea din greșeli. În educație, matematica trebuie să fie mai mult o călătorie a explorării, nu doar o destinație fixă marcată de rezultatul corect. Într-o firească și esențială completare, matematica nu este doar un test de inteligență, o barieră sau un criteriu de selecție pentru elevi, rezumarea sa la acestea conturând o imagine falsă și limitativă. În loc să fie un criteriu de „selecție“, matematica ar trebui să fie o oportunitate pentru toți de a dezvolta raționamente logice, creativitate și perseverență. În acest sens, rolul profesorului este esențial în a prezenta matematica drept o provocare constructivă și motivantă. De altfel, a ști matematică nu înseamnă a putea rezolva orice problemă, în orice moment. Există percepția că cineva care „știe matematică“ ar trebui să fie capabil să rezolve instantaneu orice problemă, indiferent de complexitatea sau natura acesteia. În realitate, chiar și cei mai experimentați matematicieni se confruntă cu obstacole și au nevoie de timp pentru a descoperi soluții sau pentru a formula abordări. Matematica este un proces de explorare, încercare și eroare, nu un simplu „arsenal“ de răspunsuri imediate. Elevii trebuie să înțeleagă că este firesc să întâmpine dificultăți și că timpul și perseverența sunt părți esențiale ale învățării și că un enunț simplu nu implică neapărat o rezolvare simplă. Unele probleme de matematică pot fi formulate cu cuvinte obișnuite, aparent accesibile, dar a le rezolva poate depăși de multe ori cunoștințele și metodele curente, implicând deseori capacitate mare de transfer și creativitate. De exemplu, conjecturi faimoase, precum cele ale lui Goldbach și Collatz, respectiv ultima teoremă a lui Fermat, au rămas nerezolvate sute de ani, deși enunțul era la îndemâna oricui. Acest aspect evidențiază faptul că un enunț aparent simplu poate ascunde provocări profunde, iar valoarea matematicii constă adesea în munca și ingeniozitatea necesare pentru a găsi soluții, nu în simplitatea căilor de rezolvare.

Matematica nu este un demers solitar, al unui individ izolat de ceilalți, „singurătatea“ ca și „singularitatea“ fiind o proiecție frecventă asupra matematicianului, dar departe de a fi și (general) valabilă. Învățarea matematicii, în special în context școlar, implică colaborarea – fie prin lucrul în echipă, fie prin discuții și dezbateri care ajută elevii să-și dezvolte gândirea critică și abilitățile de argumentare. Matematica înseamnă, de multe ori, construirea în comun a unor idei și soluții, iar colaborarea aduce noi perspective și strategii, dezvoltând capacitatea de a explica și înțelege punctele de vedere ale altora. În acest context, matematica nu trebuie să rămână o competiție exclusiv individuală, fără sprijin reciproc, așa cum poate fi aceasta percepută, într-un mod superficial, prin concursuri și olimpiade. Matematica nu trebuie să fie un demers exclusiv de „întrecere“, așa cum succesul în matematică nu înseamnă doar performanță individuală, ci și încurajarea reciprocă și sprijinul între colegi pentru a depăși provocările. Competențele sociale și colaborative sunt esențiale în matematică și ar trebui valorificate în mod constant. Este important să adăugăm faptul că matematica nu este doar o căutare de soluții rapide, pentru că soluționarea rapidă, izolată și fără un scop mai înalt a problemelor poate crea impresia că doar viteza contează în matematică. Însă adevărata învățare presupune dialog, cooperare și, de cele mai multe ori răbdare și refacerea unui parcurs pe o altă cale. Problemele mai complexe necesită deseori discuții aprofundate și colaborative, dezvoltând o înțelegere comună a ideilor și promovând perseverența și reflecția.

Și încă ceva: matematica nu este o activitate închisă la ­feedback, deoarece este o știință în căutarea și axată pe construcția unor soluții și nu pe impunerea unor rezultate absurde, fără vreun raționament la bază, ceea ce presupune contribuții și colaborare, deci bazată pe comunicare. Lucrul colaborativ, precum analiza în comun a unei probleme, primirea de feedback constructiv și re-evaluarea abordărilor alese sunt aspecte importante în învățarea matematicii, presupunând deschidere către schimb de idei, inclusiv „out of the box“, corectarea greșelilor și perfecționarea continuă.

Ce este matematica

În cele ce urmează, exprimăm punctul de vedere al autorilor asupra problemei în discuție, apoi prezentăm două raționamente care au ca finalitate obținerea răspunsului la problema formulată, menționând faptul că nu răspunsul în sine a fost preocuparea principală, ci parcurgerea de pași care conduc la răspuns și explicarea acestora:

• primul raționament are la bază calcul algebric și implică o serie de cunoștințe matematice exersate în cadrul primilor ani de liceu, care se poate încadra la abordări cu multiple etape standard, dar nu simple; având în vedere formalismul matematic utilizat, am însoțit rezolvarea cu o serie de note de subsol, care să permită lectura și înțelegerea textului pentru un public cât mai larg;
• al doilea raționament presupune o matematică la prima vedere elementară (nivel primar), dar implicând creativitate, iar construcția raționamentului fiind la fel de profundă, cel puțin din perspectiva verificării condiției de minim.

Preambul

Problemele de aritmetică din clasele primare, deși aparent simple, pot dezvălui o profunzime neașteptată atunci când sunt abordate la niveluri mai avansate. Un exemplu tipic sunt problemele de clasa a IV-a, care, prin formulare, par la îndemâna elevilor de vârstă mică. Totuși, aceste probleme pot fi rezolvate în mai multe moduri, unele necesitând cunoștințe elementare, altele implicând concepte mult mai complexe, chiar din liceu. Astfel, prezența unei soluții accesibile pentru un copil de clasa a IV-a nu garantează că problema este simplă în esență; din contră, problemele de acest tip devin adesea provocări interesante pentru elevii de gimnaziu și liceu.

Un element distinctiv al acestor probleme este că oferă o gamă largă de abordări. De pildă, o problemă de tip „găsește suma numerelor dintr-o secvență“ poate fi rezolvată folosind adunarea repetată, o metodă accesibilă unui elev de clasa a IV-a, însă poate fi abordată și cu formule de progresii aritmetice în clasele mai mari. Similar, o problemă de proporționalitate poate fi rezolvată prin reguli aritmetice de bază sau, alternativ, prin metode avansate, cum ar fi ecuațiile algebrice și principiul inducției matematice.

Aceste probleme nu testează doar cunoștințele mecanice, ci stimulează și creativitatea și gândirea critică. La nivel liceal, o astfel de problemă aparent simplă devine un exercițiu de explorare a diverselor soluții și de analiză a celor mai eficiente metode de rezolvare. Un elev, capabil să privească problema din mai multe perspective și să înțeleagă fiecare abordare, va dobândi abilități mai profunde de gândire matematică, lucru care de­­monstrează că o problemă simplă nu este neapărat una ușoară.

Complexitatea acestor probleme ilustrează și importanța solidității conceptelor fundamentale. Elevii care se pregătesc pentru olimpiade de matematică sau pentru examene mai avansate sunt adesea puși în fața problemelor elementare care, în realitate, dezvăluie lacune în cunoștințe sau în raționament. Astfel, dificultatea problemelor nu stă în formularea sau în nivelul de cunoștințe necesare, ci în capacitatea elevilor de a aplica noțiuni fundamentale într-un mod creativ și riguros.

Problemele de aritmetică din clasele inferioare reprezintă mult mai mult decât exerciții simple de calcul; ele sunt o invitație la gândire abstractă și creativitate. De aceea, nu trebuie subestimate, chiar dacă soluțiile lor pot fi accesibile unui elev de clasa a IV-a. În realitate, dificultatea unei probleme nu de­­pinde de cunoștințele necesare, ci de complexitatea raționamentului pe care îl presupune. Astfel de probleme au capacitatea unică de a provoca și de a dezvolta elevii la toate nivelurile de studiu, de la școala primară până la liceu, inclusiv.

Considerăm că, deși articolul, în cadrul secțiunilor care urmează, este unul de specialitate și poate excede tematica mai generală a revistei, prezentarea comentată a strategiilor de rezolvare, cu explicații care să faciliteze lectura de către un public cât mai larg justifică locul acestuia în paginile Tribunei, poate chiar și o invitație la o deschidere a tematicilor revistei spre noi zone.

Prof. Silvia-Mihaela MUȘĂTOIU – Colegiul Național Gheorghe Șincai“ București
Prof. Ovidiu-Mihai ȘONTEA – Colegiul Național de Informatică Tudor Vianu, București
Prof. Gabriel-Narcis VRÎNCEANU – Colegiul Național Iulia Hasdeu, București

Articol publicat în nr. 58-59-60 al revistei Tribuna Învățământului